宋元数学发展
 宋元两代，我国古代数学在汉唐基础上又有了发展，涌现了秦九韶、李冶、杨辉、朱世杰四大数学家。
    秦九韶，四川普州（今安岳县）人，主要著作是南宋理宗淳 七年（1247年）完成的《数书九章》，全书共18卷，81个问题。书中有一个著名的“遥测圆城”的问题，这个问题给出了一个圆形外围的直角三角形的某些条件，求圆的直径。秦九韶列出了一个十次方程来解决这个问题，并且提出了高次方程的数值解法———“正负开方术秦九韶著作”。秦九韶还提出了联立一次同余式的解法———“大衍求一术”。秦九韶的大衍求一术，将“物不知数”问题推广为一般同余式组解法，实现了理论上的飞跃。
    李冶，真定栾城（今河北栾城）人。代表作为《测圆海镜》，该书共12卷，170问，都是有关已知直角三角形中某些线段，求内切圆和旁切圆直径的。该书看似几何书，却叙述了一种普遍的列写代数方程的方法，即“天元术”。天元术引入了代表未知数的符号，于是任意的数学高次方程都可以表示为与近代数学一致的普遍形式。李冶还掌握了将分式方程化为整式方程的方法。
    杨辉，浙江钱塘（今杭州）人。主要著有《详解九章算法》、《日用算法》、《乘除通变算宝》、《田亩比类乘除捷法》等。杨辉受沈括将堆积的酒坛类比于层坛体积的做法启示，
正式提出了“比类”一词（即“比照类推”），并在《详解九章算法》的“商功”部分中，分别将隅垛、方垛、三角垛与《九章算术》中的方锥、方亭、鳖 相比类，得到了几个重要的多阶等差级数公式。杨辉的著作中还介绍了许多他人的数学成果，例如改革筹算乘除运算的“以加代乘”法和“以减代除”法，以及当时的一些乘法口诀。最为重要的是，他记录了北宋数学家贾宪的一个三角数表。这个数表实际上就是二项式展开的系数表，（a＋b）2、（a＋b）3的展开各项系数均可以在数表的第三四行到。这个表通常被称做“杨辉三角”，它完全等同于法国数学家帕斯卡1653年提出的“帕斯卡三角”。由于该数表有丰富的数学内涵，所以至今仍为人们所重视。
    四大名家中，朱世杰堪称一位集大成者。朱世杰，字汉卿，燕山（今北京一带）人。在14世纪初，他将解一个未知数方程的天元术，发展成了有四个未知数的方程组的解法———四元术；他还将三角垛的公式引用到招差术中，得到包含四次差的招差公式，并且可以推广到任意高次。朱世杰对球体表面积问题也作过探讨，虽然未成功，却是中国数学史上惟一一次探讨这一问题。可以说，他将中国古代数学推上了一个前所未有的高峰。
    秦、李、杨、朱四大名家的数学成果，诸如正负开方术、天元术、四元术、大衍求一术、垛积术和招差术，都是具有开创意义的数学成就，西方类似成就的出现要晚数百年。宋元时期，是我国传统数学的一个黄金时期。
  唐朝亡后，五代十国仍是军阀混战的继续，直到北宋王朝统一了中国，农业、手工业、商业迅速繁荣，科学技术突飞猛进。从公元十一世纪到十四世纪（宋、元两代），筹算数学达到极盛，是中国古代数学空前繁荣，硕果累累的全盛时期。这一时期出现了一批著名的数学家和数学著作，列举如下：贾宪的《黄帝九章算法细草》（11世纪中叶），刘益的《议古根源》（12世纪中叶），秦九韶的《数书九章》（1247），李冶的《测圆海镜》（1248）和《益古演段》（1259），杨辉的《详解九章算法》（1261）、《日用算法》（1262）和《杨辉算法》（1274-1275，朱世杰的《算学启蒙》（1299）和《四元玉鉴》（1303）等等。
    宋元数学在很多领域都达到了中国古代数学，甚至是当时世界数学的巅峰。其中主要的工作有：（1）高次方程数值解法；（2）天元术与四元术，即高次方程的立法与解法，是中国数学史上首次引入符号，并用符号运算来解决建立高次方程的问题；（3）大衍求一术，即一次同余式组的解法，现在称为中国剩余定理；（4）招差术和垛积术，即高次内插法和高阶等差级数求和。
    另外，其它成就包括勾股形解法新的发展、解球面直角三角形的研究、纵横图（幻方）的研究、小数（十进分数）具体的应用、珠算的出现等等。
    这一时期民间数学教育也有一定的发展，以及中国和伊斯兰国家之间的数学知识的交流也得到了发展。
宋元四大家为我国古代数学史上的巅峰人物，在全世界也是屈指可数的。但宋元时期大数学家绝非仅此四人。此外如贾宪、刘益、沈括等人都作出了重要贡献，“四大家”的成就是直接以他们的成就为基础的。所以，四大家的成就代表的是当时中华民族所达到的科学文化水平。 珠算的发明和使用，也是这一时期最伟大的数学成就之一。宋元时期，由于商业的发达，四则运算成了商品市场中频繁使用的科学知识。传统的筹算法不但使用不方便，计算速度也远远不能满足需要。因此，改革运算工具就更显得迫切了。 珠算盘是人们在长期的改革实践中，由算筹的小型化和摆弄位置的固定化演变而来，经过不断地改进才逐渐臻于完善。它是广大劳动者的智慧结晶。 珠算盘最迟在元末便已普遍使用了。珠算盘不仅外形小巧灵便，而且直接与算法歌诀相配合，真正做到得心应手，形成了简单快速的珠算术。虽然现在已进入了电子计算机的时代，但是在以加减运算为主的财会工作中，因为珠算速度可以和小型电子计算器媲美，所以算盘仍保持着重要的地位。 宋元时期的数学教育和对外交流仍很发达。宋元的官立算学仍与隋唐相同。颇具特的是私立算学不但数量比以前大增，讲授的内容较广泛，效率也比官设算学高得多。 唐宋以来，中国和阿拉伯保持着密切联系，阿拉伯商
人在广州、泉州、扬州经商，哈里发与中国皇帝之间也时有使臣往来。因此，阿拉伯的历法、幻方、“格子算”、欧几里得的《原本》等数学知识传入中国，中国的十进位制、分数记法、“百鸡问题”、贾宪三角形及增乘开方法等内容也出现在阿拉伯的一些著作中。 有人把宋元时期数学的发达的原因归结为三个方面。首先，工商业和城市的发展使社会对数学的需要增加。其次，由于宋代地主阶级人数扩大，许多人终生不得仕进，所以作为六艺之一的数学有较大的吸引力。宋元四大家的著作都是赋闲时的研究成果。最后，由于数学不需要投入大量资金、人力和时间，而且成败无伤、不担风险、不触忌讳，其研究规模特别适合于小农经济。这是中国数学能持续发展的主要原因。 宋元数学虽然达到了顶峰，但也存在着严重的危机。一方面，对数学社会需要的增加，并没有导致占统治地位的社会意识的变化。数学仍被认为是“九九贱技”。数学家们在思想上受着压抑。虽然他们在社会下层受到尊重，但是当他们面对上流社会时，总难免自卑自贱。数学四大家在为自己著作写的序言中都流露了这种感情。另一方面，把数学纳入阴阳五行论的轨道是宋元时期数学的一大特点。由于受宋元时期哲学上的客观唯心论的影响，数学被导向神秘化。因此，从元末以后，中国数学除珠算以外，发展缓慢，明末以后，中国数学已经落后于世界先进水平。 总的说来，在中世纪长达一千多年的时期内，由于欧洲的科学一直处于萧条和不景气局面，科学的中心转移到了东方，
于是数学也随之而进入了“东方的发展阶段”。当时的东方国家，如中国、阿拉伯各国和印度，在数学上都取得了相当高的成就。而这一时期的欧洲，没有特别重大的数学发现，主要是吸收古代世界和东方的数学遗产的时期。

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