数学的历史
              数学的历史
数统治着宇宙。
——毕达哥拉斯
第一章：基础数学
  概括：勾股定理的历史数学形成时期，这是人类建立最基本的数学概念的时期。人类从数数开始逐渐建立了自然数的概念，简单的计算法，并认识了最基本最简单的几何形式，算术与几何还没有分开。
1、数学概念
    数学概念 (mathematical concepts)：是人脑对现实对象的数量关系和空间形式的本质特征的一种反映形式，即一种数学的思维形式。
在数学中，作为一般的思维形式的判断与推理，以定理、法则、公式的方式表现出来，而数学概念则是构成它们的基础。正确理解并灵活运用数学概念，是掌握数学基础知识和运算技
能、发展逻辑论证和空间想象能力的前提。
正确地理解和形成一个数学概念，必须明确这个数学概念的内涵——对象的“质”的特征，及其外延——对象的“量”的范围。一般来说，数学概念是运用定义的形式来揭露其本质特征的。但在这之前，有一个通过实例、练习及口头描述来理解的阶段。到小学高年级，开始出现以文字表达一个数学概念，即定义的方式，如分数、比例等。有些数学概念要经过长期的酝酿，最后才以定义的形式表达，如函数、极限等。定义是准确地表达数学概念的方式。
许多数学概念需要用数学符号来表示。如⊿y表示函数y的微分。数学符号是表达数学概念的一种独特方式，对学生理解和形成数学概念起着极大的作用，它把学生掌握数学概念的思维过程简约化、明确化了。许多数学概念的定义就是用数学符号来表达，从而增强了科学性。
许多数学概念还需要用图形来表示。有些数学概念本身就是图形，如平行四边形、棱锥、双曲线等。有些数学概念可以用图形来表示，比如y=x+1的图像。有些数学概念具有几何意义，如函数的微分。数形结合是表达数学概念的又一独特方式，它把数学概念形象化、数量化了。
总之， 数学概念是在人类历史发展过程中，逐步形成和发展的。
2、自然数
性质：
对自然数可以定义加法和乘法。其中，加法运算“+”定义为：
a + 0 = a；
a + S(x) = S(a +x)， 其中，S(x)表示x的后继者。
如果我们将S(0)定义为符号“1”，那么b + 1 = b + S(0) = S( b + 0 ) = S(b)，即，“+1”运算可求得任意自然数的后继者。
同理，乘法运算“×”定义为：
a × 0 = 0;
a × S(b) = a × b + a
自然数的减法和除法可以由类似加法和乘法的逆的方式定义。但相减和相除的结果未必都是
自然数，所以减法和除法运算在自然数集中并不是总能成立的。
分类：
①按能否被2整除分，可分为奇数和偶数。
1、奇数：不能被2整除的数叫奇数。
2、偶数：能被2整除的数叫偶数。也就是说，除了奇数，就是偶数
注：0是偶数。（2002年国际数学协会规定,零为偶数.我国2004年也规定零为偶数。偶数可以被2整除，0照样可以，只不过得数依然是0而已）。
②按因数个数分，可分为质数、合数、1和0。
1、质 数：只有1和它本身这两个因数的自然数叫做质数。也称作素数。
2、合 数：除了1和它本身还有其它的因数的自然数叫做合数。
3、1：只有1个因数。它既不是质数也不是合数。
4、当然0不能计算因数，和1一样，也不是质数也不是合数。
备注：这里是因数不是约数。
特殊的自然数 0
0既不是正数也不是负数，而是正数和负数之间的一个数。当某个数X大于0（即X>0）时，称为正数；反之，当X小于0（即X<0）时，称为负数；而这个数X等于0时，这个数就是0。
应用
1、自然数列在“数列”，有着最广泛的运用，因为所有的数列中，各项的序号都组成自然数列。
任何数列的通项公式都可以看作：数列各项的数与它的序号之间固定的数量关系。
2、求n条射线可以组成多少个角时，应用了自然数列的前n项和公式；第1条射线和其它射线组成n-1个角，第2条射线跟余下的其它射线组成n-2个角，依此类推得到式子
1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2
3、求直线上有n个点，组成多少条线段时，也应该了自然数列的前n项和公式
第1个点和其它点组成n-1条线段，第2个点跟余下的其它点组成n-2条线段，依此类推同样可以得到式子：1+2+3+4+……+n-1=n(n-1)/2　
第二章：初等数学
概括：初等数学，即常量数学时期。这个时期的基本的、最简单的成果构成现在中学数学的主要内容。这个时期从公元前5世纪开始，也许更早一些，直到17世纪，大约持续了两千年。这个时期逐渐形成了初等数学的主要分支：算数、几何、代数、三角。
1、算数
介绍
算术算术是数学中最古老、最基础和最初等的部分。它研究数的性质及其运算。把数和数的
性质、数和数之间的四则运算在应用过程中的经验累积起来，并加以整理，就形成了最古老的一门数学——算术。在古代全部数学就叫做算术，现代的代数学、数论等最初就是由算术发展起来的。
规律
算术的基础在于：整数的加法和乘法服从某些规律。为了要叙述这些具有普遍性的规律，我们不能用像1，2，3这种表示特定数的符号。两个整数，不管它们的次序如何，它们的和相同。而1+2=2+1
这一命题仅仅是这一般规律的一个特殊例子。因此当我们希望表示整数之间的某个关系——不论涉及的一些特定的整数值如何——是正确的，我们可以用字母a，b，c，…作为表示整数的符号。于是，我们所熟知的五个算术规律可叙述为：
1) a+b=b+a，
2) ab=ba，
3) a+(b+c)=(a+b)+c，
4) (ab)c=a(bc)，
5) a(b+c)=ab+ac.
前两个可以说明人们可以交换加法或乘法中元素的次序。第三个表明三个数相加时，或者我们把第一个加上第二个与第三个的和；或者我们把第三个加上第一个与第二个的和，其结果都相同。第四个是乘法的结合律。最后一个表明用一个整数去乘一个和时，我们可以用这整数去乘这和的每一项，然后把这些乘积加起来。
演变
算术是数学的一个分支，其内容包括自然数和在各种运算下产生的性质，运算法则以及在实际中的应用。可是，在数学发展的历史中，算术的含义比现在广泛得多。
在中国古代，算是一种竹制的计算器具，算术是指操作这种计算器具的技术，也泛指当时一切与计算有关的数学知识。算术一词正式出现于《九章算术》中。而当时的“算术”是泛指数学的全体，与现代的意义不同。
直到宋元时代，才出现了“数学”这一名词，在数学家的菱中，往往数学与算学并用。当然，此处的数学仅泛指中国古代的数学，它与古希腊数学体系不同，它侧重研究算法。
从19世纪起，西方的一些数学学科，包括代数、三角等相继传入中国。1953年，中国数学会成立数学名词审查委员会，确立起“算术”现在的意义，而算学与数学仍并存使用。
发展
关于算数的产生，还是要从数谈起。数是用来表达、讨论数量问题的，有不同类型的量，也就随着产生了各种不同类型的数。远在古代发展的最初阶段，由于人类日常生活与生产实践中的需要，在文化发展的最初阶段就产生了最简单的自然数的概念。
使用
1、十进制计数法  2、算术运算  3、加法(+)
4、减法(−)  5、乘法(× 或 ·)  6、除法(÷ 或 /)
2、几何
定义
几何，就是研究空间结构及性质的一门学科。它是数学中最基本的研究内容之一，与分析、代数等等具有同样重要的地位，并且关系极为密切。
古代几何
（1）、国外
最早记载可以追溯到古埃及、古印度、古巴比伦，其年代大约始于公元前3000年。早期的几何学是关于长度，角度，面积和体积的经验原理，被用于满足在测绘，建筑，天文，和各种工艺制作中的实际需要。埃及和巴比伦人都在毕达哥拉斯之前1500年就知道了毕达哥拉斯定理（勾股定理）；埃及人有方形棱锥的锥台（截头金字塔形）体积正确公式；而巴比伦有一个三角函数表。
（2）、中国
中国文明和其对应时期的文明发达程度相当，因此它可能也有同样发达的数学，但是没有那个时代的遗迹可以使我们确认这一点。也许这是部分由于中国早期对于原始的纸的使用，而不是用陶土或者石刻来记录他们的成就。
发展
几何学发展历史悠长，内容丰富。它和代数、分析、数论等等关系极其密切。几何思想是数学中最重要的一类思想。目前的数学各分支发展都有几何化趋向，即用几何观点及思想方法去探讨各数学理论。
  几何作图三大问题
①化圆为方，求作一正方形,使其面积等于一已知圆
②三等分任意角;
③倍立方，求作一立方体，使其体积是一已知立方体的两倍。
（这些问题的难处，是作图只许用直尺【没有刻度，只能作直线的尺】和圆规。）
3、代数
简介
代数是研究数字和文字的代数运算理论和方法，更确切的说，是研究实数和复数，以及以它们为系数的多项式的代数运算理论和方法的数学分支学科。 初等代数是更古老的算术的推广和发展。
基本内容
三种数——有理数、无理数、复数
三种式——整式、分式、根式
中心内容是方程——整式方程、分式方程、根式方程和方程组。
初等代数的内容大体上相当于现代中学设置的代数课程的内容，
但又不完全相同。比如，严格的说，数的概念、排列和组合应归入
代数学之父—丢番图
算术的内容；函数是分析数学的内容；不等式的解法有点像解方程
的方法，但不等式作为一种估算数值的方法，本质上是属于分析数学
的范围；坐标法是研究解析几何的……。这些都只是历史上形成的一
种编排方法。
初等代数是算术的继续和推广，初等代数研究的对象是代数式的运算和方程的求解。代数运算的特点是只进行有限次的运算。全部初等代数总起来有十条规则。这是学习初等代数需要理解并掌握的要点。
规则
五条基本运算律：加法交换律、加法结合律、乘法交换律、乘法结合律、分配律；
两条等式基本性质：等式两边同时加上一个数，等式不变；等式两边同时乘以一个非零的数，等式不变；三条指数律：同底数幂相乘，底数不变指数相加；指数的乘方,底数不变，指数相乘；积的乘方等于乘方的积。
初等代数学进一步的向两个方面发展，一方面是研究未知数更多的一次方程组；另一方面是研究未知数次数更高的高次方程。这时候，代数学已由初等代数向着高等代数的方向发展了。
(1)a-b=0,a=b
(2)a+b=0,a=-b,b=-a
(3)a*b=0,a=0 或 b=0

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