无理数的发展历史
文化教育
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无理数的发展历史
杨秀娟
（江苏泗洪上塘中学，江苏宿迁223900）
人类在最原始时代就有了数的意识，
(David Tall,2001)指出“数有三种基本的用途：
计算、订购和测量。”这种用途是合理的，然而形
成数的概念，却不容易理解。现代的学生必须经
过十二年的正规教育才能掌握数的概念，然而
提出这些数的概念需花一千年的时间。随着计
算的需要，新的数不断扩张，人类最早认识的数
可能是“1”然后是“2”、“3”大于3的数，他们都
理解为一堆或一，考古学家提供的证据表明，
人类在5万年前开始使用计算方法。最早采用
的进位制有二进制、三进制、五进制、十进制、十
二进制、六十进制等。（理查德·斯根普,1978）指
出“常要掌握的一种最基本的数学斯基姆就是
自然数系-利用加法和乘法进行运算的可计算
的数的集合。掌握了十以内的计算，便迅速进入
20以内的计算，并且渴望继续这个过程。一位
数相加，可以很快就学会。上升到两位数的加
法，首先需要理解建立在数位意义上的命数法
体系，但当一旦熟练了，三位数、四位数、五位数
的加法就只不过是又一次简单的扩展（附加）罢
了。”人类认识了自然数后接着认识了分数，分
数系是一个稠密的数系，它对于加、乘、除三种
运算是封闭的，为了使减法运算也在数系内通
行无阻，人类引进了零和负数。整数、分数统称
有理数。对自然数而言，有理数系是较完美的数
系了，利用它们人类能够计算物体或物体的一
部分，它对加、减、乘、除（除数不为0）四种运算
封闭。有理数有简单的几何表示，在数直线上记
为两个不同的点A，B，其中A代表0，B代表1，
线段AB表示长度单位。正整数和负整数都能
在数直线上通过一系列的点表示出来，表示正
整数的点在A的右边，负整数的点在A的左
边。对于分数，分母为q的分数，可把每个单位
的间隔平均分成q份的点来表示。对于每个有
理数都有一个不同的点在数直线上表示。整数、
分数唯一表示的原因就是可数，它们能均匀地
间隔在数直线上。早期的数学家看起来是很合
理的，任何量都可以表成两个整数之比（即某个
有理数量），在几何上这相当于说：对于任意给
定的两条线段，总能到某第三条线段，以它为
单位线段为“可公度量”，意有公共的度量单位。
然而毕达哥拉斯学派后来却发现：并不是任意
两条线段都是可公度的，存在着不可公度的线
段，例如正方形的对角线和其一边就构成不可
公度线段。这一事实的证明，最早出现在亚里士
多德的著作中：根据勾股定理，若正方形对角线与
其一边之比为α：β（α，β互素），则有，这
里α2为偶数，则α也为偶数，设，于是
，即，β2为偶数，则β
也为偶数，这与α，β互素的假设矛盾。因此正
。亚里士多德声明这来
源于毕达哥拉斯学派，不过毕达哥拉斯学派有
严密的教规，将一切发现归功于学派的领袖，并
禁止公开学派的秘密。但该学派的成员希帕苏
斯（Hippasus，公元前470年左右）首先发现了不
能用整数比表示的数。他画了一个边长为
方形，设它的对角线为X，有勾股定理得，
而这个X无法用两个整数之比表示出来，在这
之比也是不能用整数表示，此比值正是
使毕达哥拉斯学派感到恐慌，因为它动摇了这
个学派的哲学核心。有理点系统，虽然它处处稠
密，但并不覆盖着整个数直线，按照朴素的想
法，有理点这稠密集不覆盖直线必定会引起极
大惊异与矛盾。人类的直觉丝毫不能帮助他们
“看出”无理点与有理点有何不同，不可通约性
的发现，极大地震动了希腊的哲学家和数学家，
他们对新数的发现严守秘密，但希帕苏斯还是
忍不住将这个秘密泄露了出去，他被同伴们扔
进了大海。这个数后来叫做无理数，无理数的发
勾股定理的历史现引发了第一次数学危机。谈到无理数一词，
(Klein,1932）给出了一个精确的总结“不可表
述”，暗示了这个数不能表成两个整数之比。拉
丁语把这个词“比”意译为“合理”把“无理”意译
为“不合理”，依附于这个词即为无理数。无理数
的出现，在
也是无理数。希腊人对无理数的学习局限于通
过重复抽取平方根即这些数通过几何方法直尺
和圆规构造的无理数。无理数的普遍概念大约
在公元前370年希腊人的头脑中还未形成。无
理数的普遍概念作为引进一系列的十进制小
数，而这种小数的建立与对数表的出现相联系。
有理数用小数来表示，它可以是有限小数也可
以是无限循环小数。没有什么理由来阻碍人们
考虑到十进制小数的非循环形式。任何人应该
从本能上把它看成一个数，然而它不是有理数。
通过这种方法。无理数的普遍概念形成了，通过
计算，强迫人们引进这个新数的概念，而没有考
虑它的性质或动机。人们仅通过简单的操作证
明这些数非常有用，然而人类仍然没有形成关
于无理数的理论。数学界的人们感到有必要用
代数方法更精确地形成无理数的理论基础。戴
德金（Dedekind）解决了这个问题。问题的根本
就是直线，这种直线很自然的理解为连续，然而
数是离散的，即每个数都是一个实体，因此为了
获得点与数的一一对应，这个数一定也是连续
的，通过证实，实数没有间隙。历史上这样的解
释出现于（Klein，1932）“对于每个有理数或无
理数在横坐标上都有一个点与之对应，反之亦
然。这被称作公理，这种公理一方面考虑到实
数，另一方面考虑到实数与直线上的点之间的
一一对应关系。”据说，从不可公度的无理数的
发现到实数的建立，历史花费了大约2500年时
间。
另一方面历史的发展表明，对无理数的本
质及其理论的完整认识确实是十分艰难的。17
世纪，剑桥大学的数学教授、牛顿的老师巴罗还
根本不承认无理数。整个18世纪，直到19世
纪，人们对无理数的认识还是贫乏且零散的，不
仅系统的理论尚未建立起来，而且人们实际认
识的无理数并不多。有的数，人类接触它长达数
千年之后，尚不知道它究竟是有理数还是无理
数。直到19世纪中叶之后，随着实数理论的完
整的建立，人们对无理数的认识从理论上得以
解决。
参考文献
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责任编辑：王娜Á
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摘要：简要介绍了无理数的发展历史。
关键词：无理数；概述；理论

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