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[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2013年
河南省专升本考试高等数学真题2013年



一、单项选择题
(在每小题的四个备选答案中选出一个正确答案。)
问题:1.  函数的定义域是______
A.[0，2]
B.(1，+∞)
C.(1，2]
D.[1，2]
答案:C[解析] 为使函数有意义，须有即1＜x≤2，故函数的定义域为(1，2]
问题:2.  设，那么f{f[f(x)]}=______
    A．
    B．
    C．
    D．x 
答案:D[解析] 由故选D.
问题:3.  函数是______
A.偶函数
B.奇函数
C.非奇非偶函数
D.既奇又偶函数
答案:B[解析] 令，则
   
    即y=f(x)为奇函数. 
问题:4.  设，则x=0是f(x)的______
A.连续点
B.可去间断点
C.跳跃间断点
D.无穷间断点
答案:B[解析] 因，故x=0是f(x)的可去间断点.
问题:5.  当x→0时，下列无穷小量中与等价的是______
A.x
B.2x
C.x2
D.2x2
答案:A[解析] 由选项可设与等价的无穷小量为axb，则
   
    则a=1，b=1，故选A. 
问题:6.  已知f'(0)=a，g'(0)=b，且f(0)=b，且f(0)=g(0)，则 ______
A.a-b
B.2a+b
C.a+b
D.b-a
答案:C[解析] 故选C.
问题:7.  曲线(a＞0，b＞0)，则对应点处的法线斜率为______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:B[解析] ，故对应点处的法线斜率为，故选B.
问题:8.  设f'(x)=g(x)，则df(sin2x)=______
A.2g(x)sinxdx
B.g(x)sin2xdx
C.g(sin2x)dx
D.g(sin2x)sin2xdx
答案:D[解析] df(sin2x)=[f(sin2x)]'dx=f'(sin2x)·2sinxcosxdx，因为f'(x)=g(x)，故df(sin2x)=g(sin2x)sin2xdx，故选D.
问题:9.  设函数f(x)具有任意阶导数，且f'(x)=[f(x)]2，则f(n)(x)=______
A.n![f(x)]n+1
B.n[f(x)]n+1
C.(n+1)[f(x)]n+1
D.(n+1)![f(x)]n+1
答案:A[解析] 因为f'(x)=[f(x)]2，所以
    f"(x)=2f(x)f'(x)=2[f(x)]3，
    f'"(x)=2×3[f(x)]2·f'(x)=2×3[f(x)]4，
    f(4)=2×3×4[f(x)]3·f'(x)=4![f(x)]5，
    …
    f(n)(x)=n![f(x)]n+1，故选A. 
问题:10.  由方程xy=xx+y确定的隐函数x(y)的导数______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:A[解析] 方程两边对y求导，其中x看作y的函数，x'y+x=ex+y·(x'+1)，所以，故选A.
问题:11.  若f"(x)＞0(0＜x＜a)，且f(0)=0，则下面成立的是______
A.f'(x)＞0
B.f'(x)在[0，a]上单调增加
C.f(x)＞0
D.f(x)在[0，a]上单调增加
答案:B[解析] f"(x)＞0只能说明f'(x)是[0，a]上的增函数，而A、C、D中结论无法得到.
问题:12.  点(0，1)是曲线y=x3+bx2+c的拐点，则______
A.b=0，c=1
B.b=-1，c=0
C.b=1，c=1
D.b=-1，c=1
答案:A[解析] y'=3x2+2bx，y"=6x+2b，当x=0时，y"=2b=0，则b=0，又曲线过点(0，1)，即c=1，本题选A．
问题:13.  曲线的垂直渐近线共有______
A.1条
B.2条
C.3条
D.4条
答案:A[解析] ，显然x=-2为可去间断点，，故x=3为曲线的垂直渐近线，本题选A．
问题:14.  函数f(x)=ex-e-x的一个原函数是______
A.F(x)=ex-e-x
B.F(x)=ex+e-x
C.F(x)=e-x-ex
D.F(x)=-ex-e-x
答案:B[解析] ∫f(x)dx=∫(ex-e-x)dx=∫exdx+∫e-xd(-x)=ex+e-x+C，结合选项可知B正确．
问题:15.  若f'(x)连续，则下列等式正确的是______
A.∫df(x)
B.d∫f(x)dx=f(x)
C.∫f'(x)=f(x)
D.d∫f(x2)dx=f(x2)dx
答案:D[解析] ∫df(x)=f(x)+C，A错，d∫(x)dx=f(x)dx，B错，∫f'(x)dx=f(x)+C，C错，D正确．
问题:16.  ______
A.π
B.-π
C.1
D.0
答案:D[解析] 由于y=x2sinx为[-π，π]上的奇函数，故．
问题:17.  设，则f'(x)=______
A.xex
B.(x-1)ex
C.(x+2)ex
D.xex+2
答案:A[解析] 方程两边对x求导，得f(2+x)=e2+x+xe2+x，所以f(x)=ex+(x-2)ex，f'(x)=ex+ex+
(x-2)ex=xex．
问题:18.  下列广义积分收敛的是______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:C[解析] 发散，发散，收敛，发散，故选C．
问题:19.  微分方程(y')2+(y")2y+y=0的阶数是______
A.1
B.2
C.3
D.4
答案:B[解析] 微分方程的阶数为方程中最高阶导数的阶数，故选B．
问题:20.  微分方程dy-2xy2dx=0满足条件y(1)=-1的特解是______
    A．
    B．
    C．y=x2
    D．y=-x2 
答案:B[解析] 对微分方程分离变量，得，两边积分，得，代入y(1)=-1，得C=0，故方程的特解为．
问题:21.  下列各组角中，可以作为向量的方向角的是______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:C[解析] 向量的方向角须满足cos2α+cos2β+cos2γ=1，由此可知只有C满足．
问题:22.  直线与平面π：2x-3y+z-4=0的位置关系是______
A.L在π上
B.L与π垂直相交
C.L与π平行
D.L与π相交，但不垂直
答案:B[解析] 由于直线的方向向量与平面的法向量平行，故L与π垂直相交．
问题:23.  下列方程在空间直角坐标系中所表示的图形为柱面的是______
    A．
    B．
    C．
    D．x2+y2-2x=0 
答案:D[解析] D中，曲面在xOy平面上的投影为圆，故D为柱面，其他均不是．
问题:24.  ______
    A．0
    B．1
    C．
    D．不存在 
答案:C[解析]
问题:25.  设z=f(x2-y2，2x+3y)，则______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:B[解析] ，故选B．
问题:26.  设，则交换积分次序后，I可以化为______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:A[解析] 画出积分区域如图，交换积分次序，得
   
     
问题:27.  积分______
    A．2
    B．
    C．
    D．0 
答案:C[解析]
问题:28.  设L是抛物线x=y2上从O(0，0)到A(1，1)的一段弧，则曲线积分∫L2xydx+x2dy=______
A.0
B.2
C.4
D.1
答案:D[解析]
问题:29.  幂级数的收敛区间为______
A.(0，1)
B.(-∞，+∞)
C.(-1，1)
专升本考试时间河南D.(-1，0)
答案:C[解析] ，故收敛半径R=1，收敛区间为(-1，1).
问题:30.  下列级数收敛的是______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:A[解析] A为交错级数，且，单调递减，故收敛，，而发散，故B、C均发散，D中，故发散．



二、填空题
问题:1.  函数f(x)在点x0有定义是极限存在的______条件.
答案:既不充分也不必要[解析] f(x)在x0有定义表明f(x)定义域中包含x0，存在等价于，二者没
有什么本质联系．
问题:2.  已知，则p=______.
答案:[解析] ，故．
问题:3.  函数是连续函数，则a=______.
答案:[解析] ，由f(x)的连续性，知1-a=a，即．
问题:4.  设函数，则f'(x)=______.
答案:[解析]
问题:5.  不定积分=______.
答案:ln|2x+sinx|+C[解析]
问题:6.  向量a={1，0，1)与向量b={-1，1，0)的夹角是______.
答案:[解析]
问题:7.  微分方程y'+y-x=0的通解是______.
答案:y=x+Ce-x-1[解析] 由一阶线性微分方程的通解公式得微分方程的通解为
    y=e-∫dx(∫xe∫dx+C)=e-x(∫xexdx+C)
    =e-x(xex-ex+C)=x+Ce-x-1． 
问题:8.  设方程x+2y+x-2xyz=0所确定的隐函数为z=z(x，y)，则______.
答案:-5[解析] 方程两边对x求偏导，得，
问题:9.  曲面x=x2+y2在点(1，2，5)处的切平面方程是______.
答案:2x+4y-z=5[解析] 令F(x，y，z)=x2+y2-z，Fx=2x，Fy=2y，Fz=-1，故点(1，2，5)处的切平面法向量为{Fx|x=1，Fy|y=2，Fz|z=5}={2，4，-1}，所以切平面方程为2(x-1)+4(y-2)-(z-5)=0，即2x+4y-z=5．
问题:10.  将展开成(x-4)的幂级数是______.
答案:[解析] ，因为，所以．



三、计算题
问题:1.
答案:
问题:2.  已知函数x=x(y)由方程所确定，求.
答案:方程两边对y求导，得
   
    即，
    即． 
问题:3.  求不定积分
答案:令，则x=t2，dt=2tdt，
   
    将代入得． 
问题:4.  设求
答案:
问题:5.  求微分方程2y"+y'-y=3ex的通解.
答案:对应齐次方程的特征方程为2λ2+λ-1=0，特征根为λ1=-1，，所以原方程对应齐次方程的通解为，C1，C2为任意常数，又1不是对应齐次方程的特征根，设y*=Aex为方程特解，代入方程得2Aex+Aex-Aex=3ex，即，
    故原方程的通解为，其中C1，C2为任意常数． 
问题:6.  设u=x2+sin2y+exy，求全微分du.
答案:．所以
   
    =(2x+yexy)dx+(2cos2y+xexy)dy. 
问题:7.  一平面过点(1，0，-1)且平行于向量a={2，1，-1}和b={1，-1，2)，求此平面的方程.
答案:设c={m，n，p)为所求平面的一个法向量，则
    ，即c={1，-5，-3)，
    所以所求平面的方程为(x-1)-5y-3(z+1)=0，即x-5y-3z=4． 
问题:8.  计算，其中D是由y=1，y=x，y=2，x=0所围成的闭区域.
答案:积分区域如图所示，
   
     
问题:9.  计算积分∫L(x2+2xy-y2+10)dx+(x2-2xy-y2+15)dy，其中L为曲线y=cosx上从点到点的一段弧.
答案:由于，所以所求积分与路径无关，所以可以沿直线y=0积分，
     
问题:10.  求幂级数的收敛域.
答案:因为，所以幂级数的收敛半径为2，令|x-1|＜2，得收敛区间为(-1,3)，当x=-1时，原级数为
    收敛，当x=3时，原级数为发散，故原幂级数的收敛域为[-1，3). 



四、应用题
问题:1.  某房地产公司有50套公寓要出租，当月租金定为2000元时，公寓会全部租出去，当月租金每增加100元时，就会多一套公寓租不出去，而租出去的公寓每月需花费200元的维修费，试问租金定为多少可获得最大收入?最大收入是多少?
答案:设租金定为x元时对应的收入为y元，则，即
    ，
    令，得唯一驻点x=3600，
    结合实际际问题，知当租金定为3600元时，可获得最大收入，最大收入为115600元． 
问题:2.  曲线y=x3(x≥0)，直线x+y=2以及y轴围成一平面图形D，试求平面图形D绕y轴旋转一周所得旋转体的体积.
答案:平面图形如图阴影部分所示，
    所求体积
   
     



五、证明题
问题:1.  设f(x)在区间[0，1]上连续，且f(x)＜1，证明：方程在区间(0，1)内有且仅有一个实根.
答案:[证明] 令，则F(x)为[0，1]上连续函数，
    且F(0)=-1＜0，，
    由于f(t)＜1，则，故F(1)＞0，由零点存在定理，F(x)在(0，1)内有实根，又F'(x)=2-f(x)＞1＞0，F(x)在(0，1)上单调增加，
    因此方程在(0，1)内有且仅有一个实根．

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