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[专升本(地方)考试密押题库与答案解析]河南省专升本考试高等数学真题2004年
河南省专升本考试高等数学真题2004年



一、单项选择题
(在每小题的备选答案中选出一个正确答案)
问题:1.  函数的定义域是______
A.(-2，2)
B.[0，1)∪(1，2]
C.(-2，1)∪(1，2)
D.(0，1)∪(1，2)
答案:D[解析] 由得4-x2＞0，即-2＜x＜2  ①，由lnx≠0，得x＞0，x≠1  ②，则①和②的交集为(0，1)∪(1，2)．
问题:2.  函数是定义域内的______
A.周期函数
B.单调函数
C.有界函数
D.无界函数
答案:C[解析] 由于是一个正弦函数，显然在其定义域内是一个有界的函数．
问题:3.
A.x
B.0
C.∞
D.1
答案:A[解析] 要注意，变量是n．则
问题:4.  当x→0时，x-sinx是比x2的______
A.低阶无穷小
B.高阶无穷小
C.等价无穷小
D.同阶但非等价无穷小
答案:B[解析] 所以，当x→0时，x-sinx是比x2高阶的无穷小．
问题:5.  设则x=1是f(x)的______
A.连续点
B.可去间断点
C.跳跃间断点
D.第二类间断点
答案:B[解析] 间断点x=1处函数f(x)的左、右极限都存在且相等，所以x=1是f(x)的可去间断点．
问题:6.  设f'(x)在点x0的某个邻域内存在，且f(x0)为f(x)的极大值，
A.0
B.1
C.2
D.-2
答案:A[解析] 而由题目知f'(x0)存在，且f(x)在x=x0处取到极大值，则x=x0是f'(x)的驻点，所以
f'(x0)=0．即题给函数的极限为0．
问题:7.  下列函数中，在x=1处连续但不可导的是______
    A．
    B．y=|x-1|
    C．y=cot(x-1)
    D．y=x2-x 
答案:B[解析] 该题采用排除法．A、C显然在x=1处不连续，B、D都在x=1处连续，但D在x=1处可导，故只有B符合要求．
问题:8.  下列函数中，在[-1，1]上满足罗尔定理条件的是______
    A．y=lnx2
    B．y=|x|
    C．y=cosx
    D． 
答案:C[解析] 罗尔定理条件有3个：①f(x)在[a，b]上连续；②f(x)在(a，b)内可导；③f(a)=f(b)．A不满足①，lnx2在x=0处不连续．B不满足②，|x|在x=0处不可导．C满足罗尔
定理的条件．D不满足①、②和③．
问题:9.  设f(x)在x=3的某个邻域内有定义，若则在x=3处______
A.f(x)的导数存在且f'(3)≠0
B.f(x)的导数不存在
C.f(x)取得极小值
D.f(x)取得极大值
答案:D[解析] 因为所以存在x=3的某个空心邻域，使得即无论x＞3或x＜3都有f(x)＜f(3)，又f(x)在x=3的某邻域有定义．所以f(x)在x=3处取得极大值．
问题:10.  曲线的渐进线有______
A.1条
B.2条
C.3条
D.0条
答案:B[解析] ，所以y有水平渐近线y=0，所以y有垂直渐近线x=2，故y有两条渐近线．
问题:11.  下列函数对应的曲线在定义域内凹的是______
A.y=e-x
B.y=ln(1+x2)
C.y=x2-x3
D.y=sinx
答案:A[解析] 从A开始验证．y=e-x，y'=-e-x，y"=e-x＞0，由于是单项选择，这时就可以下结论：曲线y=e-x在定义域内是凹的，直接选A即可．
问题:12.  下列函数中，可以作为同一个函数的原函数的是______
    A．
    B．ln|lnx|和2lnx
    C．
    D． 
答案:C[解析] 对于每一组答案中的两个函数分别求导，结果一样的，那组答案即为所求．A显然不是，对于B，令lnx＞0，则令lnx＜0，则
   
    C答案正确． 
问题:13.  下列等式正确的是______
    A．∫f'(x)dx=f(x)
    B．d∫d(f(x))=f(x)+C
    C．
    D．d∫f(x)dx=f(x) 
答案:C[解析] A未加常数C而B、D等号右端缺dx，所以从形式上就不对．所以是对的，故选C．
问题:14.  设f'(x)为连续函数，则
    A．
    B．2[f(1)-f(0)]
    C．
    D． 
答案:A[解析]
问题:15.  下列广义积分收敛的是______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:D[解析]
问题:16.  若z=exy，则dz|(1，2)=______
A.exy(ydx+xdy)
B.3e2
C.2e2dx+e2dy
D.0
答案:C[解析]
问题:17.  设f(x，y)=(x-4)2+y2，则点(4，0)______
A.不是驻点
B.是驻点但非极值点
C.极大值点
D.极小值点
答案:D[解析] fx=2(x-4)，fy=2y，令两式等于零，解得x=4，y=0，A=fxx=2，B=fxy=0，C=fyy=2，B2-AC=-4＜0，A=2＞0，所以点(4，0)为f(x，y)的极小值点．
问题:18.  设区域D由y轴及直线y=x，y=1所围成，则
    A．1
    B．
    C．
    D． 
答案:D[解析] 作出积分区域D的图形，如图
   
     
问题:19.  直线和直线的关系是______
A.平行但不重合
B.重合
C.垂直不相交
D.垂直相交
答案:A[解析] 两直线方向数成比例，所以两直线平行或重合，将第一条直线上的点(1，3，1)代入第二条直线方程显然不满足，所以两直线平行但不重合．
问题:20.  方程2x2-y2=1表示的二次曲面是______
A.球面
B.旋转抛物面
C.柱面
D.圆锥面
答案:C[解析] 方程2x2-y2=1缺一个变量z，因此表示一个母线平行于z轴的柱面，由于它在xOy坐标平面中表示双曲线，所以更具体地说，它表示的是双曲柱面．
问题:21.  下列级数中，绝对收敛的是______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:C[解析] 即A不绝对收敛，②这是公比q＞1的等比级数，所以发散．即B不绝对收敛，的
p-级数，所以收敛，即C绝对收敛，不满足级数收敛的必要条件，所以发散，即D不绝对收敛．
问题:22.  下列级数中，发散的是______
    A．
    B．
    C．
    D． 
答案:A[解析] (不存在)．A不满足级数收敛的必要条件，所以发散，②交错级数故B收敛，的等比级数，所以C收敛，是p=3＞1的p-级数．所以D收敛．
问题:23.  级数的和为______
A.0
B.e
C.e2
D.不存在
答案:C[解析] 因为幂级数
问题:24.  用待定系数法求方程y"-2y'+y=xex的特解y*时，下列特解设法正确的是______
A.y*=(ax2+bx+c)ex
B.y*=x(ax2+bx+c)ex
C.y*=x2(ax+b)ex
D.y*=x2(ax2+bx+c)ex
答案:C[解析] 先求方程y"-2y'+y=xex对应的齐次方程y"-2y'+y=0的特征方程r2-2r+1=0．得一二重特征根r=1．
    这里f(x)是一多项式与一指数函数的乘积，若单看指数函数ex，且r=1为重根，特解应具有Ax2ex之形式，若单看多项式函数x，且原方程不缺y项，特解应具有Cx+D之形式，注意到f(x)是两者乘积，于是特解应具有Ax2ex(Cx+D)之形式，即x2(ax+b)ex的形式． 
问题:25.  设L为从点A(1，0)沿x轴到点B(-1，0)的直线段，则∫Ly2dx=______
A.0
B.1
C.2
D.3
答案:A[解析]



二、填空题
问题:1.  设
答案:x(x-1)[解析] 得u(u-1)，原式变为f(u)=u(u-1)，
    即f(x)=x(x-1)． 
问题:2.
答案:1[解析] 数列{xn}，{xn+2}，{xn-2}的区别只是相对多或少了有限项，由数列收敛性质，它们之中若有一个收敛于A，则全都收敛于A．所以，
问题:3.  设在x=0处连续，则k=______．
答案:[解析] f(x)在x=0处连续，应有
问题:4.  设y=x3+5x2+e2x，则y(10)=______．
答案:210e2x[解析] 一般求某函数的高阶导数，需先求前几阶导数，以发现规律，得出结论．
通过此方法，求得(e2x)(10)=210e2x．
问题:5.
答案:[解析]
问题:6.
答案:1[解析]
问题:7.  y=x3-27x+2在[0，1]上的最大值为______．
答案:2[解析] y=x3-27x+2，y'=3x2-27=3(x2-9)，因为x∈[0，1]，所以y'＜0，即y单调递减，这样y在[0，1]上的最大值应在左端点x=0处，即最大值为f(0)=2．
问题:8.
答案:-1[解析]
问题:9.
答案:1[解析] 利用分部积分法
问题:10.  设ex2为f(x)的一个原函数，则∫e-x2·f(x)dx=______．
答案:x2+C[解析] 利用分部积分法，因为f(x)的一个原函数为ex2，则
     
问题:11.  广义积分当______时收敛．
答案:q＜0[解析]
    显然，第二式中当q＞0时，极限为无穷大，而当q＜0时极限为故q＜0时，广义积分收敛． 
问题:12.  过原点且与直线垂直的平面方程为______．
答案:2x+y-3z=0[解析] 该平面的法向量可取直线的方向向量{2，1，-3}，又平面过点(0，0，0)，故平面的点法式方程为：2x+y-3z=0．
问题:13.  设
答案:[解析]
问题:14.
答案:0[解析] 在极坐标系下，区域D可表示为
    所以， 
问题:15.
答案:[解析] 因为(1，0)是f(x，y)定义域内的点，所以f(x，y)在(1，0)连续，故
     




三、判断是非题
问题:1.  若f(x)在x=x0处连续，则f[f(x)]在点x=x0处一定连续．专升本考试时间河南
答案:B[解析] 反例：设f(x)=lnx，它在处连续，而f[f(x)]=ln(lnx)在处无定义，所以f[f(x)]在处不连续．
问题:2.  若数列{xn}有界，则{xn}必收敛．
答案:B[解析] 反例：数列1，0，1，0，…有界，但它不收敛．
问题:3.  方程在[1，e-1]上无实根．
答案:A[解析] 显然在[1，e-1]上无实根．
    考察ln(x+1)=0，令f(x)=ln(x+1)，
    由于x∈[1，e-1]，所以f'＞0，故f(x)在[1，e-1]上单调递增，而f(1)=ln(1+1)=ln2＞0，因此，在[1，e-1]上f(x)＞0，故ln(x+1)=0在[1，e-1]上无实根，综上所述，方程在[1，e-1]上无实根． 
问题:4.
答案:B[解析] 从y=cosx的图像上可以看出分别计算“＜”两边的定积分，也可得到和以上相同的结论．
问题:5.  若二元函数z=f(x，y)在点(x0，y0)处的两个偏导数都存在，则z=f(x，y)在点(x0，y0)处可微．
答案:B[解析] 考察函数
他在点(0，0)处两个偏导数都存在(都等于0)，而z=f(x，y)在点(0，0)处不连续，而有定理：“若z=f(x，y)在点(x，y)处可微，则他在该点一定连续．”所以z=f(x，y)在点(0，0)处不可微．



四、计算题
(每小题5分，共40分)
问题:1.  计算
答案:[解析]
问题:2.  设y=y(x)是由方程x2ey+y2=1所确定的函数，求
答案:[解析] 令F(x，y)=x2ey+y2-1
    Fx=2xey，Fy=x2ey+2y，
    另外，也可以注意y是x的函数，方程x2ey+y2=1两边对x求导．2xey+x2eyy'+2y·y'=0，解得所以， 
问题:3.  计算∫x3cosx2dx．
答案:[解析]
问题:4.  计算
答案:[解析]
问题:5.  设z=f(x+y，xy)可微，求全微分dz．
答案:[解析] 令u=x+y，v=xy，z=f(u，v)，du=dx+dy，dv=ydx+xdy，
    dz=fudu+fvdv=fu(dx+dy)+fv(ydx+xdy)
    =(fu+yfv)dx+(fu+xfv)dy． 
问题:6.  计算
答案:[解析] 先做出积分区域图，在极坐标系下进行计算．
   
     
问题:7.  求幂级数的收敛区间(不考虑端点的情况)．
答案:[解析] 方法一  由于缺项，令(x+1)2=t，
    所以-2＜t＜2，即(x+1)2＜2级数收敛，解得
    收敛区间为(不包括端点)
    方法二  令
   
    得收敛区间为(不包括端点) 
问题:8.  求方程y"-y=0的积分曲线，使其在点(0，0)处与直线y=x相切．
答案:[解析] y"-y=0的特征方程为r2-1=0，得特征根r=±1．所以通解为y=C1ex+C2e-x．由已知条件0=C1e0+C2e0，C1+C2=0，
   
    解得于是所求积分曲线方程为 


五、应用题
(每小题7分，共14分)
问题:1.  某地域人口总数为50万，为在此地域推广某项新技术，先对其中1万人进行了培训，使其掌握此项新技术，并开始在此地域推广．设经过时间t，已掌握此新技术的人数为x(t)(将x(t)视为连续可微变量)，其变化率与已掌握新技术人数和未掌握新技术人数之积成正比，且比例常数为k(k＞0)，求x(t)．
答案:[解析] 令y=x(t)．由题意可知y'=ky(50-y)，  y(0)=1，
   
    当t=0时，C=-ln49，
    特解为
    解得 
问题:2.  过点P(1，0)作抛物线的切线，该切线与上述抛物线及x轴围成一平面图形，求此图形绕x轴旋转一周所成旋转体的体积．
答案:[解析] 方法一  做出示意图，
   
    设切线斜率为k，则切线方程为y=k(x-1)，
    联立得k2x2-(2k2+1)x+k2+2=0，
    由于直线和抛物线相切，所以b2-4ac=0，
    即  (2k2+1)2-4k2·(k2+2)=0，化简得：4k2=1，
    联系实际解得
    解得x=3，
    代入得y=1，即切点坐标(3，1)．
    所以，
    方法二  设过点P(1，0)的抛物线的切线切点为(x0，y0)，则切线斜率为：又切线过点P(1，0)和点(x0，y0)，切线斜率又可表示为：则 ①
    又点(x0，y0)在抛物线上，有：
      ②
    解①、②联立的方程组得切点为(3，1)；切线方程为：
   
    该切线与抛物线及x轴围成的平面图形如图．
    故，所求旋转体体积为：
     



六、证明题
(6分)
问题:1.  证明：当x＞0时，
答案:[证明]
    所以，f(x)单调递增，而x＞0，则
    f(x)＞f(0)=0，

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