2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国卷3〕
理科数学
一、选择题：此题共12小题，每题5分，共60分。在每题给出的四个选项中，只有一项为哪
一项符合题目要求的。
1．集合22
{(,)1}A x y x y =+=，{(,)}B x y y x ==，那么A
B 中元素的个数为
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
2．设复数z 满足(1)2i z i +=，那么||z =
A ．
12
B ．
22
C ．2
D ．2
3．某城市为理解游客人数的变化规律，进步旅游效劳质量，搜集并整理了2021年1月至2021年12月期间月接待游客量〔单位：万人〕的数据，绘制了下面的折线图．
根据该折线图，以下结论错误的选项是 A ．月接待游客量逐月增加 B ．年接待游客量逐年增加
C ．各年的月接待游客量顶峰期大致在7，8月
D ．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比拟平稳 4．5
()(2)x y x y +-的展开式中3
3
x y 的系数为〔〕
A ．-80
B ．-40
C ．40
D ．80
5．双曲线2222:1(0,0)x y C a b a b -=>>的一条渐近线方程为5
y x =，且与椭圆
22
1123
x y +=有公共焦点．那么C 的方程为〔〕 A ．221810
x y -=
B ．22145x y -=
C ．22154x y -=
D ．22
143
x y -=
6．设函数()cos()3
f x x π
=+
，那么以下结论错误的选项是〔〕
A ．()f x 的一个周期为2π-
B ．()y f x =的图像关于直线83
x π
=对称 C ．()f x π+的一个零点为6
x π
=
D ．()f x 在(
,)2
π
π单调递减
7．执行右图的程序框图，为使输出S 的值小于91，那么输入的正整数N 的最小值为 A ．5 B ．4 C ．3 D ．2
8．圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，那么该圆柱的体积为〔〕 A ．π
B ．
34
π C ．
2
π D ．
4
π 9．等差数列{}n a 的首项为1，公差不为0．假设236,,a a a 成等比数列，那么{}n a 前6项的和为 A ．-24
B ．-3
C ．3
D ．8
10．椭圆22
22:1x y C a b
+=〔0a b >>〕的左、右顶点分别为12,A A ，且以线段12A A 为直径的
圆与直线20bx ay ab -+=相切，那么C 的离心率为〔〕 A ．
63
B ．
33
C ．
2３
D ．13
11．函数2
1
1()2()x x f x x x a e
e --+=-++有唯一零点，那么a =〔〕
A ．12
-
B ．
13
C ．
12
D ．1
12．在矩形ABCD 中，1,2AB AD ==，动点P 在以点C 为圆心且与BD 相切的圆上．假
设AP AB AD λμ=+，那么λμ+的最大值为 A ．3
B ．22
C ．5
D ．2
二、填空题：〔此题共4小题，每题5分，共20分〕
13．假设,x y 满足约束条件0,20,0x y x y y -≥⎧⎪
+-≤⎨⎪≥⎩
那么34z x y =-的最小值为________．
14．设等比数列{}n a 满足12131,3a a a a +=--=-，那么4a =________．
15．设函数1,0,()2,0
x x x f x x +≤⎧=⎨>⎩ 那么满足1
()()12f x f x +->的x 的取值范围是________．
16．,a b 为空间中两条互相垂直的直线，等腰直角三角形ABC 的直角边AC 所在直线与,a b
都垂直，斜边AB 以直线AC 为旋转轴旋转，有以下结论： ①当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成30角； ②当直线AB 与a 成60角时，AB 与b 成60角； ③直线AB 与a 所成角的最小值为45； ④直线AB 与a 所成角的最大值为60．
其中正确的选项是________〔填写所有正确结论的编号〕
三、解答题：〔共70分．第17-20题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22，23题为选
考题，考生根据要求作答〕 〔一〕必考题：共60分． 17．〔12分〕
ABC ∆的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c
，sin 0,2A A a b +===
〔1〕求c ；
〔2〕设D 为BC 边上一点，且AD AC ⊥，求ABD △的面积．
18．〔12分〕某超市方案按月订购一种酸奶，每天进货量一样，进货本钱每瓶4元，售价每
瓶6元，未售出的酸奶降价处理，以每瓶2元的价格当天全部处理完．根据往年销售经历，每天需求量与当天最高气温〔单位：℃〕有关．假如最高气温不低于25，需求量为500瓶；假如最高气温位于区间[20,25)，需求量为300瓶；假如最高气温低于20，需求量为200瓶，为了确定六月份的订购方案，统计了前三年六月份各天的最高气温数据，得下面的频数分布表：
〔1〕求六月份这种酸奶一天的需求量X 〔单位：瓶〕的分布列；
〔2〕设六月份一天销售这种酸奶的利润为Y 〔单位：元〕．当六月份这种酸奶一天的进货量〔单位：瓶〕为多少时，Y 的数学期望到达最大值？ 19．〔12分〕如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，
△ACD
是直角三角形．ABD CBD ，AB
BD ．
全国高考最高分〔1〕证明：平面ACD
平面ABC ；
D
B
C
E
〔2〕过AC 的平面交BD 于点E ，假设平面AEC 把四面体ABCD 分成体积相等的两局部．求二面角D
AE
C 的余弦值．
20．〔12分〕抛物线2
:2C y x ，过点〔2，0〕的直线l 交C 于A ，B 两点，圆M 是以线段
AB 为直径的圆．
〔1〕证明：坐标原点O 在圆M 上；
〔2〕设圆M 过点P 〔4，2〕，求直线l 与圆M 的方程． 21．〔12分〕函数()1ln f x x a x =--．
〔1〕假设()0f x ≥，求a 的值；
〔2〕设m 为整数，且对于任意正整数n ，2
111(1)(1)(1
)2
22n
m ，求m 的最
小值．
〔二〕选考题：共10分。请考生在第22、23题中任选一题作答。假如多做，那么按所做的第
一题计分。
22．[选修4-4：坐标系与参数方程]〔10分〕
在直角坐标系xOy 中，直线1l 的参数方程为2,
x t y kt =+⎧⎨=⎩〔t 为参数〕，直线2l 的参数方
程为2,
x m m
y k =-+⎧⎪⎨=⎪⎩
〔m 为参数〕，设1l 与2l 的交点为P ，当k 变化时，P 的轨迹为曲线C ．
〔1〕写出C 的普通方程：
〔2〕以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴
建立极坐标系，设3l ：
(cos sin )0ρθθ+-=，M 为3l 与C 的交点，求M 的极径．
23．[选修4-5：不等式选讲]〔10分〕
函数()||||f x x x =+1--2． 〔1〕求不等式()f x ≥1的解集；
〔2〕假设不等式()f x x x m 2≥-+的解集非空，求m 的取值范围．
2021年普通高等学校招生全国统一考试〔全国3〕
理科数学参考答案
一、选择题
1．B 2．C 3．A 4．C
5．B
6．D
7．D 8．B
9．A
10．A 11．C 12．A
二、填空题
13．1- 14．8-
15．1(,)4
-+∞
16．②③
三、解答题 17．解：
〔1〕由可得tan 3A =23
A π=
在ABC ∆中，由余弦定理得2
22844cos 3
c c π
=+-，即22240c c +-= 解得6c =-〔舍去〕，4c = 〔2〕由题设可得2
CAD π
∠=
，所以6
BAD BAC CAD π
∠=∠-∠=
故ABD ∆面积与ACD ∆面积的比值为
1sin 2611
2
AB AD AC AD π=
又ABC ∆的面积为1
42sin 232
BAC ⨯⨯∠=ABD ∆3 18．解：
〔1〕由题意知，X 所有可能取值为200,300,500，由表格数据知
()2162000.290P X +==
=，()363000.490P X ===，()2574
5000.490
P X ++===. 因此X 的分布列为：
X 200 300 500 P
〔2〕，因此只需考虑200n ≤≤500
当300500n ≤≤时，
假设最高气温不低于25，那么642Y n n n =-=；
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