1992年普通高等学校招生全国统一考试
理科数学（全国卷）
一、选择题：本大题共18个小题，每小题3分，共54分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.把所选项前的字母填在题后括号内. 1.82log 9log 3
的值是 A.23 B.1 C.32
D.2 2.如果函数sin()cos()y x x ωω=的最小正周期是4π，那么常数ω为
A.4
B.2
C.12
D.14
3.极坐标方程分别是cos ρθ=和sin ρθ=的两个圆的圆心距是
A.2
C.1
4.方程sin 4cos5cos4sin5x x x x =-的一个解是
A.10o
B.20o
C.50o
D.70o
5.已知轴截面是正方形的圆柱的高与球的直径相等，则圆柱的全面积与球的表面积的比是
A.6:5
B.5:4
C.4:3
D.3:2
6.图中曲线是幂函数n y x =在第一象限的图像，已知n 取12,2
±±四个值，则相应于曲线1234,,,C C C C 的n 依次为 A.112,,,222-- B.112,,,222-- C.11,2,2,22-- D.112,,2,22
--
7.若log 2log 20a b <<，则
3
A. 01a b <<<
B. 01b a <<<
C. 1a b >>
D. 1b a >>
8.直线sin 203cos 20
x t y t ⎧=+⎨=-⎩o o ,（t 为参数）的倾斜角是 A.20o B.70o C.110o D.160o
9.在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
10.圆心在抛物线22y x =上，且与x 轴和该抛物线的准线都相切的一个圆的方程是 A.221204
x y x y +---
= B.22210x y x y ++-+= C.22210x y x y +--+= D.221204x y x y +--+= 11.在25(32)x x ++的展开式中x 的系数为
A.160
B.240
C.360
D.800
12.若01a <<，在[]0,2π上满足sin x a ≥的x 的范围是
A.[]0,arcsin a
B.[]arcsin ,arcsin a a π-
C.[]arcsin ,a ππ-
D.arcsin ,arcsin 2a a π⎡⎤+⎢⎥⎣⎦
13.已知直线1l 和2l 夹角的平分线为y x =，如果1l 的方程是0ax by c ++= (0)ab >，那么2l 的方程是
A.0bx ay c ++=
B.0ax by c -+=
C.0bx ay c +-=
D.0bx ay c -+=
14.在棱长为1的正方体1111ABCD A B C D -A 中，M 和N 分别为11A B 和1BB 的中点，那么直线AM 与CN 所成角的余弦值是
A.2
B.10
C.35
D.25
15.已知复数z 的模为2，则z i -的最小值为
A.1
B.2
3
16.函数2
x x
e e y --=的反函数是 A.奇函数，它在(0,)+∞上是减函数. B.偶函数，它在(0,)+∞上是减函数.
C.奇函数，它在(0,)+∞上是增函数.
D.偶函数，它在(0,)+∞上是增函数.
17.如果函数2()f x x bx c =++对任意实数t 都有(2)(2)f t f t +=-，那么
A.(2)(1)(4)f f f <<
B.(1)(2)(4)f f f <<
C.(2)(4)(1)f f f <<
D.(4)(2)(1)f f f <<
18.长方体的全面积为11，十二条棱长度之和为24，则这个长方体的一条对角线长为
A.
5 D.6
二、填空题：本大题共5小题，每小题3分，共15分.把答案填在题中横线上.
19.方程13313
x
x -+=+的解是 . 20. sin15sin 75o o 的值是 .
21.设含有10个元素的集合的全部子集数为S ，其中由3个元素组成的子集数
为T ，则T S
的值为 . 22.焦点为1(2,0)F -和2(6,0)F ，离心率为2的双曲线的方程是 .
23.已知等差数列{}n a 的公差0d ≠，且139,,a a a 成等比数列，则
1392410
a a a a a a ++++的值为 .
三、解答题: 本大题共5小题，共51分，解答应写出文字说明、演算步骤.
24.（本题满分9分）
已知z C ∈，解方程313zz iz i -=+.
25.（本题满分10分） 已知324ππβα<<<,12cos()13αβ-=,3sin()5全国高考最高分
αβ+=-，求sin 2α的值. 26.（本题满分10分）
已知：两条异面直线,a b 所成的角为θ，它们的公垂线段1AA 的长度为d .在直线
,a b 上分别取点,E F ，设1A E m =,AF n =.
求证：EF =27.（本题满分10分）
设等差数列{}n a 的前n 项和为n S .已知312a =,120S >,130S <. (Ⅰ)求公差d 的取值范围. (Ⅱ)指出1S ,2S ,…, 12S 中哪一个值最大，并说明理由.
28.（本题满分12分） 已知椭圆22
221(0)x y a b a b
+=>>,,A B 是椭圆上的两点，线段AB 的垂直平分线与x 轴相交于点0(,0)P x ，证明: 2222
0a b a b x a a ---<<.
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