2016年高考理科数学全国卷3(含答案解析)
绝密★启用前
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）
理科数学
使用地区:广西、云南、贵州
注意事项：
1. 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共6页.
2. 答题前，考生务必在答题卡上用直径0.5毫米的黑字迹签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚.再贴好条形码，请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目.
3. 答第Ⅰ卷时，选出每题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.答在本试卷上无效.
4. 答第Ⅱ卷时，请用直径0.5毫米的黑字迹签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答.答在本试卷上无效.
5. 第22、23、24小题为选考题，请按题目要求任选其中一题作答.要用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后的方框涂黑.
6. 考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
第Ⅰ卷
一、选择题：本题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合，，则                    （  ）
A.
B.
C.
D.
2．若，则                                                （  ）
A.
B.
C.
D.
3．已知向量，则                            （  ）
A. 30°
B. 45°
C. 60°
D. 120°
4. 某旅游城市为向游客介绍本地的气温情况，绘制了一年中各月平均最高气温和平均最低气温的雷达图．图中点表示十月的平均最高气温约为，点表示四月的平均最低气温约为.下面叙述不正确的是                                        (  )
----平均最低气温——平均最高气温
A. 各月的平均最低气温都在以上
B. 七月的平均温差比一月的平均温差大
C. 三月和十一月的平均最高气温基本相同
D. 平均最高气温高于的月份有5个
5. 若，则                                        (  )
A.
B.
C.
D.
6. 已知，，，则                                        (  )
A.
B.
C.
D.
7. 执行如图的程序框图，如果输入的，，那么输出的
                                                        (  )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
8. 在中，，边上的高等于，则    (  )
A.
B.
C.
D.
9. 如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为                                                        (  )
A.
B.
C.
D.
10. 在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球.若，，，，则的最大值是                                    (  )
A.
B.
C.
D.
11. 已知为坐标原点，是椭圆:的左焦点，，分别为的左、右顶点，为上一点，且轴.过点的直线与线段交于点，与轴交于点.若直线经过的中点，则的离心率为                (  )
A.
全国高考最高分B.
C.
D.
12. 定义“规范数列”如下：共有项，其中项为，项为，且对任意，中的个数不少于的个数.若，则不同的“规范数列”共有                                                            (  )
A.
B.
C.
D.
第Ⅱ卷
本卷包括必考题和选考题两部分.第13～21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22～24题为选考题，考生根据要求作答.
二、填空题:本题共4小题，每小题5分.
13. 若，满足约束条件则的最大值为______.
14. 函数的图象可由函数的图象至少向右平移______个单位长度得到.
15. 已知为偶函数，当时，，则曲线在点处的切线方程式是______.
16. 已知直线与圆交于两点，过分别作的垂线与轴交于两点，若，则______.
三、解答题:解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分12分）
已知数列前项和，其中.
（Ⅰ）证明是等比数列，并求其通项公式；
（Ⅱ）若，求.
18.（本小题满分12分）
下图是我国2008年至2014年生活垃圾无害化处理量（单位:亿吨）的折线图.
注:年份代码1～7分别对应年份2008—2014.
（Ⅰ）由折线图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（Ⅱ）建立关于的回归方程（系数精确到0.01），预测2016年我国生活垃圾无害化
处理量.
附注:
参考数据:，，，.
参考公式:相关系数
回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为
，．
19.（本小题满分12分）
如图，四棱锥中，底面，，，，为线段上一点，，为的中点．
（Ⅰ）证明：平面；
（Ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
20.（本小题满分12分）
已知抛物线:的焦点为，平行于轴的两条直线分别交于两点，交的准线于两点.
（Ⅰ）若在线段上，是的中点，证明；
（Ⅱ）若的面积是的面积的两倍，求中点的轨迹方程.
21.（本小题满分12分）
设函数，其中，记的最大值为.
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）求；
（Ⅲ）证明：.
请考生在第22、23、24题中任选一题作答，作答时用2B铅笔在答题卡上把所选题目题号后
的方框涂黑.如果多做，则按所做的第一题计分.
22.（本小题满分10分）选修4—1：几何证明选讲
如图，中的中点为，弦分别交于两点．
（Ⅰ）若，求的大小;
（Ⅱ）若的垂直平分线与的垂直平分线交于点，证明：.
23.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程
在直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，以轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（Ⅰ）写出的普通方程和的直角坐标方程;
（Ⅱ）设点在上，点在上，求的最小值及此时的直角坐标.
24.（本小题满分10分）选修4—5：不等式选讲
已知函数.
（Ⅰ）当时，求不等式的解集;
（Ⅱ）设函数.当时，，求的取值范围．
2016年普通高等学校招生全国统一考试（全国新课标卷3）
理科数学答案解析
第Ⅰ卷
一、选择题
1.【答案】D
【解析】易得，．
【考点】解一元二次不等式，交集
2.【答案】C
【解析】易知，故，．
【考点】共轭复数，复数运算
3.【答案】A
【解析一】，．
【解析二】可以点为坐标原点建立如图所示直角坐标系，易知，，
．
【考点】向量夹角的坐标运算
4.【答案】D
【解析】从图像中可以看出平均最高气温高于的月份有七月、八月，六月为左右，故最多3个．
【考点】统计图的识别
5.【答案】A
【解析】．
【考点】二倍角公式，弦切互化，同角三角函数公式
6.【答案】A
【解析】，，，故．
【考点】指数运算，幂函数性质
7.【答案】B
【解析】列表如下：
4
2
6
-2
4
2
6
-2
4
6
4
6
4
6
0
6
10
16
20
0
1
2
3
4
【考点】程序框图
8.【答案】C
【解析】如图所示，可设，则，，，由余弦定理知，．
【考点】解三角形
9.【答案】B
【解析】由三视图可知该几何体是一个平行六面体，上下底面为俯视图的一半，各个侧面平行四边形，故表面积为．
【考点】三视图，多面体的表面积
10.【答案】B
【解析】由题意知，当球为直三棱柱的内接球时，体积最大，选取过球心且平行于直三棱柱底面的截面，如图所示，则由切线长定理可知，内接圆的半径为2，又，所以内接球的半径为，即的最大值为．
【考点】内接球半径的求法
11.【答案】A
【解析】易得，，，．
【考点】椭圆的性质，相似
12.【答案】C
【解析】
【考点】数列，树状图
第Ⅱ卷
二、填空题
13.【答案】
【解析】三条直线的交点分别为，，，代入目标函数可得，，，故最大值为．
【考点】线性规划
14.【答案】
【解析】，，故可前者的图像可由后者向右平移个单位长度得到．
【考点】三角恒等变换，图像平移
15.【答案】
【解析一】，，，故切线方程为．
【解析二】当时，，，，故切线方程为．
【考点】奇偶性，导数，切线方程
16.【答案】3
【解析】如图所示，作于，作于，，，，即，，直线的倾斜角为，．
【考点】直线和圆，弦长公式
三、解答题
17.【答案】（Ⅰ），，，当时，，即，，，，即，即，，是等比数列，公比，当时，，即，；
（Ⅱ）若，则，．
【考点】等比数列的证明，由求通项，等比数列的性质
18.【答案】（Ⅰ）由题意得，，
，因为与的相关系数近似为0．99，说明与的线性相关程度相当高，从而可以用线性回归方程来拟合与的关系；
（Ⅱ），，所以关于的线性回归方程为，将代入回归方程可得，，预测2016年我国生活垃圾无害化处理量将约为1.82亿吨．
【考点】相关性分析，线性回归
19.【答案】（Ⅰ）由已知得，取的中点，连接，，由为中点知，，又，故平行且等于，四边形为平行四边形，于是，因为平面，平面，所以平面；
（Ⅱ）取中点，连接，则易知，又面，故可以为坐标原点，以为轴，以为轴，以为轴建立空间直角坐标系，则、、、
，，，，故平面的法向量，
，
直线与平面所成角的正弦值为．
【考点】线面平行证明，线面角的计算
20.【答案】（Ⅰ）由题设，设，，则，且，，，，，记过，两点的直线为，则的方程为，由于在线段上，故，记的斜率为，的斜率为，则，所以；
（Ⅱ）设与轴的交点为，则，，由题设可得，所以(舍去)，，设满足条件的的中点为，当与轴不垂直时，由可得，而，所以，当与轴垂直时，与重合，所以，所求轨迹方程为．
【考点】抛物线，轨迹方程
21.【答案】（Ⅰ）；
（Ⅱ）当时，，因此，，当时，将变形为，令，则是在上的最大值，，，且当时，取得极小值，极小值为，令，解得（舍去），．
当时，在内无极值点，，，，所以；
当时，由，知；
又，所以，
综上，
（Ⅲ）由（Ⅰ）得，
当时，，当时，，
所以，当时，，所以．
【考点】导函数讨论单调性，不等式证明
22.【答案】（Ⅰ）连结，，则，，因为，所以，又，所以，又，，所以，因此；
（Ⅱ）因为，所以，由此知，，，四点共圆，其圆心既在的垂直平分线上，又在的垂直平分线上，故就是过，，，四点的圆的圆心，所以在的垂直平分线上，因此．
【考点】几何证明
23.【答案】（Ⅰ）的普通方程为，的直角坐标方程为；
（Ⅱ）由题意，可设点的直角坐标为，因为是直线，所以的最小值，即为到的距离的最小值，，当且仅当时，取得最小值，最小值为，此时的直角坐标为．
【考点】坐标系与参数方程
24.【答案】（Ⅰ）当时，，解不等式，得，因此，的解集为；
（Ⅱ）当时，，当时等号成立，所以当时，等价于①．
当时，①等价于，无解；
当时，①等价于，解得；
所以的取值范围是．
【考点】不等式

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