1991年全国高考数学试题及其参考答案
(理工农医类)
考生注意：这份试卷共三道大题(26个小题)．满分120分
一、选择题：本大题共15小题；每小题3分，共45分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．把所选项前的字母填在题后括号内．
(1) 已知sinα=，并且α是第二象限的角，那么tgα的值等于 ( )
(A) | (B) | (C) | (D) |
(2) 焦点在(－1，0)，顶点在(1，0)的抛物线方程是 ( )
(A) y2=8(x+1) | (B) y2=－8(x+1) |
(C) y2=8(x－1) | (D) y2=－8(x－1) |
(3)函数y=cos4x－sin4x的最小正周期是 ( )
(A) | (B) π | (C) 2π | (D) 4π |
(4)如果把两条异面直线看成“一对”，那么六棱锥的棱所在的12条直线中，异面直线共有 ( )
(A) 12对 | (B) 24对 | (C) 36对 | (D) 48对 |
(5) 函数y=sin(2x+)的图像的一条对称轴的方程是 ( )
(A) x=－ | (B) x=－ |
(C) | (D) |
(6) 如果三棱锥S－ABC的底面是不等边三角形，侧面与底面所成的二面角都相等，且顶点S在底面的射影O在△ABC内，那么O是△ABC的 ( )
(A) 垂心 | (B) 重心 | (C) 外心 | (D) 内心 |
(7) 已知{an}是等比数列，且an>0，a2a4+2a3a5+a4a6=25，那么a3+a5的值等于 ( )
(A) 5 | (B) 10 | (C) 15 | (D) 20 |
(8) 如果圆锥曲线的极坐标方程为ρ=，那么它的焦点的极坐标为 ( )
(A) （0，0），（6，π） | (B) (－3，0)，(3，0) |
(C) （0，0），（3，0） | (D) (0，0)，(6，0) |
(9) 从4台甲型和5台乙型电视机中任意取出3台，其中至少要有甲型与乙型电视机各1台，则不同的取法共有 ( )
(A) 140种 | (B) 84种 | (C) 70种 | (D) 35种全国高考最高分 |
(10) 如果AC<0且BC<0，那么直线Ax+By+C=0不通过 ( )
(A) 第一象限 | (B) 第二象限 | (C) 第三象限 | (D) 第四象限 |
(11) 设甲、乙、丙是三个命题．如果甲是乙的必要条件；丙是乙的充分条件但不是乙的必要条件，那么 ( )
(A) 丙是甲的充分条件，但不是甲的必要条件 |
(B) 丙是甲的必要条件，但不是甲的充分条件 |
(C) 丙是甲的充要条件 |
(D) 丙不是甲的充分条件，也不是甲的必要条件 |
(12) …(1－)]的值等于 ( )
(A) 0 | (B) 1 | (C) 2 | (D) 3 |
(13) 如果奇函数f(x)在区间[3，7]上是增函数且最小值为5，那么f (x)在区间[－7，－3]上是 ( )
(A) 增函数且最小值为－5 | (B) 增函数且最大值为－5 |
(C) 减函数且最小值为－5 | (D) 减函数且最大值为－5 |
(14) 圆x2+2x+y2+4y－3=0上到直线x+y+1=0的距离为的点共有 ( )
(A) 1个 | (B) 2个 | (C) 3个 | (D) 4个 |
(15) 设全集为R，f (x)=sinx，g (x)=cosx，M={x|f (x)≠0}，N={x|g (x)≠0}，那么集合
{x|f (x)g (x)=0}等于 ( )
(A) | (B) | (C) | (D) |
二、填空题：本大题共5小题；每小题3分，共15分．把答案填在题中横线上．
(16) arctg+arctg的值是____________
(17) 不等式<1的解集是___________
(18) 已知正三棱台上底面边长为2，下底面边长为4，且侧棱与底面所成的角是45°，那么这个正三棱台的体积等于
(19) (ax+1)7的展开式中，x3的系数是x2的系数与x4的系数的等差中项．若实数a>1，那么a=
(20) 在球面上有四个点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两互相垂直，且PA＝PB＝PC＝a．那么这个球面的面积是
三、解答题：本大题共6小题；共60分．
(21) (本小题满分8分)
求函数y=sin2x+2sinxcosx+3cos2x的最小值，并写出使函数y取最小值的x的集合．
(22) (本小题满分8分)
已知复数z=1＋i, 求复数的模和辐角的主值．
(23) (本小题满分10分)
已知ABCD是边长为4的正方形，E、F分别是AB、AD的中点，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2．求点B到平面EFG的距离．
(24) (本小题满分10分)
根据函数单调性的定义，证明函数f (x)=－x3+1在(－∞，+∞)上是减函数．
(25) (本小题满分12分)
已知n为自然数，实数a>1，解关于x的不等式
logax－logx＋12logx＋…＋n (n－2)logx>log(x2－a)
(26) (本小题满分12分)
双曲线的中心在坐标原点O，焦点在x轴上，过双曲线右焦点且斜率为的直线交双曲线于P、Q两点．若OP⊥OQ，|PQ|=4，求双曲线的方程．
1991年普通高等学校招生全国统一考试
数学试题(理工农医类)参考解答及评分标准
说明：
一、本解答指出了每题所要考查的主要知识和能力，并给出了一种或几种较为常见的解法，如果考生的解法与本解答不同，可根据试题的主要考查内容参照评分标准制定相应评分细则．
二、每题都要评阅到底，不要因为考生的解答中出现错误而中断对该题的评阅．当考生的解答在某一步出现错误，影响了后继部分时，如果该步以后的解答未改变这一题的内容和难度时，可视影响的程度决定后面部分的给分，但不得超过后面部分应给分数的一半；如果这一步以后的解答有较严重的错误，就不给分．
三、为了阅卷方便，本试题解答中的推导步骤写得较为详细，允许考生在解题过程中合理省略非关键性的推导步骤．
四、解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数．
五、只给整数分数．
一、选择题．本题考查基本知识和基本运算．每小题3分，满分45分．
(1)A (2)D (3)B (4)B (5)A (6) D (7)A (8)D
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