2023年普通高等学校招生全国统一考试·仿真模拟卷
数学（二）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是符合题目要求的．
1.已知集合{
}2A x x x
=≤，(){}2
log
1B x y x ==-，则A B ⋃=（
）
A.[)1,+∞
B.[)0,∞+
C.（0，1）
D.
[]
0,1【答案】B 【解析】
【分析】分别化简集合,A B ，根据并集的定义求解.【详解】{
}
2
A x x x
=≤ ∴不等式2x x ≤的解集是集合A
又因为(){
}
2
1001,01
x x x x x A x x ≤⇒-≤⇒≤≤∴=≤≤又(){}
2log 1x y x =- ，所以满足函数()2log 1y x =-中x 的范围就是集合B
所以{}1011
x x B x x ->⇒>∴=>所以{}{
}{
}
[)01100,A B x x x x x x ∞⋃=≤≤⋃>=≥=+故选：B
2.已知复数()()2i 1i z a =+-为纯虚数，则实数=a （）
A.12
-
全国高考最高分B.23
-
C.2
D.2
-【答案】D 【解析】
【分析】根据复数乘法计算方法化简复数，结合纯虚数的概念求值即可.【详解】()()()2
i 22i 1i i 2i 2i 2a a a a z a ==-++++---=，因为复数z 为纯虚数，所以20
20
a a -≠⎧⎨+=⎩，即2a =-.
故选：D
3.在正方形ABCD 中，M 是BC 的中点．若AC m = ，AM n = ，则BD =
（
）
A.43m n -
B.43m n
+ C.34m n -
D.34m n
+
【答案】C 【解析】
【分析】作图，根据图像和向量的关系，得到2()22BC AC AM m n =-=-
和
AB AC BC =- 222m m n n m =-+=-
，
进而利用BD BC CD BC AB =+=- ，
可得答案.【详解】
如图，AC m =
，AM n =
，且在正方形ABCD 中，AB DC
=
12AC AM MC BC -==
，2()22BC AC AM m n ∴=-=- ， AC AB BC =+
，AB AC BC ∴=- 222m m n n m =-+=- ，∴BD BC CD BC AB =+=-= 22234m n n m m n
--+=- 故选：C
4.已知40.5=a ，5log 0.4b =，0.5log 0.4c =，则a ，b ，c 的大小关系是（）
A.b a c >>
B.a c b >>
C.c a b >>
D.a b c
>>【答案】C 【解析】
【分析】利用指数函数，对数函数单调性，出中间值0,1，使其和,,a b c 比较即可.【详解】根据指数函数单调性和值域，0.5x y =在R 上递减，结合指数函数的值域可知，
()
()400,0.50,10.5a ∈==；根据对数函数的单调性，5log y x =在(0,)+∞上递增，则55log 0.4log 10b =<=，0.5log y x =在(0,)+∞上递减，故0.50.5log 0.4log 0.51c =>=，
即10c a b >>>>，C 选项正确.故选：C
5.端午佳节，人们有包粽子和吃粽子的习俗．四川流行四角状的粽子，其形状可以看成一个正四面体．
广东流行粽子里放蛋黄，现需要在四角状粽子内部放入一个蛋黄，蛋黄的形状
近似地看成球，当这个蛋黄的表面积是9π时，则该正四面体的高的最小值为（）A.4 B.6
C.8
D.10
【答案】B 【解析】
【分析】根据题意分析可知，当该正四面体的内切球的半径为3
2
时，该正四面体的高最小，再根据该正四面体积列式可求出结果.
【详解】由球的表面积为9π，可知球的半径为
32
，依题意可知，当该正四面体的内切球的半径为
3
2
时，该正四面体的高最小，
设该正四面体的棱长为a 3
a =，
根据该正四面体积的可得2163334a a ⨯
⨯=21334324a ⨯⨯⨯，解得a =.
所以该正四面体的高的最小值为66
633
a =⨯=.故选：B
6.现有一组数据0，l ，2，3，4，5，6，7，若将这组数据随机删去两个数，则剩下数据的平均数大于4的概率为（）A.
5
14 B.
314
C.
27
D.
17
【答案】D 【解析】
【分析】先得到删去的两个数之和为4时，此时剩下的数据的平均数为4，从而得到要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，利用列举法得到其情况，结合组合知识求出这组数据随机删去两个数总共的情况，求出概率.【详解】0，l ，2，3，4，5，6，7删去的两个数之和为4时，
此时剩下的数据的平均数为284
482
-=-，所以要想这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4，则删去的两个数之和要小于4，
有()()()()0,1,0,2,0,3,1,2四种情况符合要求，
将这组数据随机删去两个数，共有2
8
C 28=种情况
所以将这组数据随机删去两个数，剩下数据的平均数大于4的概率为41287
=.故选：D
7.在棱长为3的正方体1111ABCD A B C D -中，O 为AC 与BD 的交点，P 为11A
D 上一点，且112A P PD =
，则过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为（
）
A. B.
C.+
D.+【答案】D 【解析】
【分析】根据正方体的性质结合条件作出过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面，再求周长即得.
【详解】因为112A P PD =
，
即11113
D P A D = ，
取11113
D H D C =uuuu r uuuu r
，连接11,,PH HC A C ，则11//HP AC ，
又11//AC AC ，所以//HP AC ，
所以,,,,A O C H P 共面，即过A ，P ，O 三点的正方体的截面为ACHP ，
由题可知AP
CH ===，PH =，11A C =，
所以过A ，P ，O 三点的平面截正方体所得截面的周长为+.
故选：D.
8.不等式15e ln 1-≥+x a x
x x
对任意(1,)x ∈+∞恒成立，则实数a 的取值范围是（
）A.(,1e]
-∞- B.
(2
,2e
⎤-∞-⎦
C.(,4]
-∞- D.
(,3]
-
∞-【答案】C 【解析】
【分析】分离参数，将15e ln 1-≥+x a x x x 变为41e ,1ln x x x
a x x
---≤>，然后构造函数，即将不
等式恒成立问题转化为求函数的最值问题，利用导数判断函数的单调性，求最值即可.
【详解】由不等式15e ln 1-≥+x a x
x x 对任意(1,)x ∈+∞恒成立，此时ln 0x >，
可得41e ,1ln x x x
a x x
---≤>恒成立，
令41e ,1ln x x x y x x ---=>，从而问题变为求函数41e ,1ln x x x y x x
-
--=>的最小值或范围问题；
令1()e x g x x -=-，则1()e 1x g x -'=-，
当1x <；时，1()e 10x g x -'=-<，当1x >时，1()e 10x g x -'=->，故1()e (1)0x g x x g -=-≥=，即1e x x -≥，
所以4
411ln 4ln 1e e e e 4ln x x x x x x x x ------=⋅=≥-，()*，当且仅当4ln 1x x -=时取等号，令()4ln 1h x x x =--，则44
()1x h x x x
-'=-
=，当4x <；时，()0h x '<，当>4x 时，()0h x '>，
故min ()(4)34ln 40h x h ==-<，且当x →+∞时，()4ln 1h x x x =--也会取到正值，即4ln 1x x -=在1x >时有根，即()*等号成立，所以41e 4ln 4ln x x x x x x x
-
--≥--=-，
则41e 4ln x x x
x
---≥-，故4a ≤-，
故选：C
【点睛】本题考查了不等式的恒成立问题，解法一般是分离参数，构造函数，将恒成立问题转化为求函数最值或范围问题，解答的关键是在于将不等式或函数式进行合理的变式，这里需要根据式子的具体特点进行有针对性的变形，需要一定的技巧.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，
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