绝密★启用前
2021年普通高等学校招生全国统一考试
数学
注意事项：
1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设集合A={x|-2<x<4}，B={2,3,4,5}，则A A．{2}B．{2,3}B=
D．{2,3,4}
C．{3,4}
2．已知z=2-i，则z(z+i)=
A．6-2i B．4-2i C．6+2i D．4+2i 3．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为A．2B．22C．4D．42
π
4．下列区间中，函数f(x)=7sin(x-)单调递增的区间是
6
πA．(0,)
2
π
B．(,π)
2
C．(π,
3π
)
2
D．(
3π
,2π)
2
x2y2
5．已知F
1，F
2
是椭圆C：+=1的两个焦点，点M在C上，则|MF
1
|⋅|MF
2
|的最94
大值为
A．13
6．若tanθ=-2，则
B．12C．9D．6 sinθ(1+sin2θ)
=
sinθ+cosθ
2
B．-
5
C．
6 A．-
52
5
D．
6
5
7．若过点(a ,b )可以作曲线y =e x 的两条切线，则A ．e b <a
B ．e a <b
C ．0<a <e b
D ．0<b <e a
8．有6个相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回的随机取两次，每次取1个球．甲表示事件“第一次取出的球的数字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的数字是2”，丙表示事件“两次取出的球的数字之和是8”，丁表示事件“两次取出的球的数字之和是7”，则A ．甲与丙相互独立C ．乙与丙相互独立
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项
符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。9．有一组样本数据x 1
,x 2
,
y i
=x i
+c (i =1,2,
,x n
，由这组数据得到新样本数据
y 1
,y 2
,
,y n
，其中
B ．甲与丁相互独立D ．丙与丁相互独立
,
n )，c 为非零常数，则
A ．两组样本数据的样本平均数相同C ．两组样本数据的样本标准差相同
B ．两组样本数据的样本中位数相同D ．两组样本数据的样本极差相同
10．已知O 为坐标原点，点P 1
(cos α,sin α)，P 2
(cos β,-sin β)，P 3
(cos(α+β),sin(α+β))，
A (1,0)，则
A ．|OP 1
|=|OP 2
|
B ．|AP 1
|=|AP 2
|
D ．OA ⋅OP 1
=OP 2
⋅OP
3
C ．OA ⋅OP 3
=OP 1
⋅OP
2
11．已知点P 在圆(x -5)2+(y -5)2=16上，点A (4,0)，B (0,2)，则
A ．点P 到直线A
B 的距离小于10
C ．当∠PBA 最小时，|PB |=32
B ．点P 到直线AB 的距离大于2D ．当∠PBA 最大时，|PB |=32
12．在正三棱柱ABC -A 1B 1
C 1
中，AB =AA 1
=1，点P 满足BP =λBC +μBB 1
，其中
λ∈[0,1]，μ∈[0,1]，则
A ．当λ=1时，△A
B 1
P 的周长为定值
B ．当μ=1时，三棱锥P -A 1
BC 的体积为定值
C ．当λ=
D ．当μ=1
时，有且仅有一个点P ，使得A 1P ⊥BP
2
1
时，有且仅有一个点P ，使得A 1B ⊥平面AB 1P
2
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数f (x )=x 3(a ⋅2x -2-x )是偶函数，则a =__________．
y 2=2px (p >0)的焦点为F ，P 为C 上一点，PF 与
14．已知O 为坐标原点，抛物线C ：x 轴垂直，Q 为x 轴上一点，且PQ ⊥OP ．若|FQ |=6，则C 的准线方程为
__________．
15．函数f (x )=|2x -1|-2ln x 的最小值为__________．
16．某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折．规
格为20dm ⨯12dm 的长方形纸，对折1次共可以得到10dm ⨯12dm ，20dm ⨯6dm 两种规格的图形，它们的面积之和S 1
=240dm 2，对折2次共可以得到5dm ⨯12dm ，
10dm ⨯6dm ，20dm ⨯3dm 三种规格的图形，它们的面积之和S 2
=180dm 2，以此
类推．则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为__________；如果对折n 次，那
么∑S k
=__________dm 2．
k =1
n
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（10分）
18．（12分）
某学校组织“一带一路”知识竞赛，有A ，B 两类问题．每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并
全国高考最高分从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束．A 类问题中的每个问题回答正确得20分，否则得0分；B 类问题中的每个问题回答正确得80分，否则得0分。
已知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8，能正确回答B 类问题的概率为0.6，（1）若小明先回答A 类问题，记X 为小明的累计得分，求X 的分布列；（2）为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
⎧⎪a n +1,n 为奇数,
已知数列{a n
}满足a 1
=1，a
n +1
=⎨a +2,n 为偶数.
⎪⎩n （1）记b n
=a 2n
，写出b 1，b 2
，并求数列{b n
}的通项公式；
（2）求{a n
}的前20项和．
19．（12分）
20．（12分）
如图，在三棱锥A -BCD 中，平面ABD ⊥平面
（1）证明：OA ⊥CD ；
（2）若△OCD 是边长为1的等边三角形，点E 在B
O
C
D
A
E
记△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b 2=ac ，点D 在边AC （1）证明：BD =b ；
（2）若AD =2DC ，求cos ∠ABC ．上，BD sin ∠ABC =a sin C ．
BCD ，AB =AD ，O 为BC 的中点．
棱AD 上，DE =2EA ，且二面角E -BC -D 的大小为
45︒，求三棱锥A -BCD 的体积．
21．（12分）
在平面直角坐标系xOy 中，已知点F 1
(-17,0)，F 2
(17,0)，点M 满足
|MF 1
|-|MF 2
|=2．记M 的轨迹为C ．
（1）求C 的方程；
（2）设点T 在直线x =1
上，过T 的两条直线分别交C 于A ，B 两点和P ，Q 两点，
2且|TA |⋅|TB |=|TP |⋅|TQ |，求直线AB 的斜率与直线PQ 的斜率之和．
22．（12分）
已知函数f (x )=x (1-ln x )．（1）讨论f (x )的单调性；
（2）设a ，b 为两个不相等的正数，且b ln a -a ln b =a -b ，证明：2<11
+<e ．
a b
绝密★启用前试卷类型：B
2021年普通高等学校招生全国统一考试
数学
本试卷共4页，22小题，满分150分。考试用时120分钟。
注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题
卡上。用2B 铅笔将试卷类型（B ）填涂在答题卡相应位置上。将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。
2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试卷上。
3．非选择题必须用黑字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。
4．考生必须保持答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只
有一项是符合题目要求的。
1．设集合A ={x |-2<x <4}，B ={2,3,4,5}，则A
A ．{2}【答案】B
2．已知z =2-i ，则z z +i =（
）
A ．6-2i 【答案】C
3．已知圆锥的底面半径为2，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为（
）
A ．2
B ．22
C ．4
D ．42
B ．4-2i
C ．6+2i
D ．4+2i
B ．{2,3}
C ．{3,4}
B =（）
D ．{2,3,4}
()
版权声明：本站内容均来自互联网，仅供演示用，请勿用于商业和其他非法用途。如果侵犯了您的权益请与我们联系QQ:729038198，我们将在24小时内删除。
发表评论