2021年全国新高考“八省联考”高考数学适应性试卷及答案
2021年全国新高考“八省联考”高考数学适应性试卷
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1.已知M ,N 均为R 的子集,且∁R M ⊆N ,则M ∪(∁R N )=(  )
A 、∅
B 、M
C 、N
D 、R
2.在3张卡片上分别写上3位同学的学号后,再把卡片随机分给这3位同学,每人1张,则恰有1位学生分到写有自己学号卡片的概率为(  )
A 、61
B 、31
C 、21
D 、3
2 3.关于x 的方程x 2+ax +b =0,有下列四个命题:
甲:x =1是该方程的根;
乙:x =3是该方程的根;
丙:该方程两根之和为2;
丁:该方程两根异号.
如果只有一个假命题,则该命题是(  )
A 、甲
B 、乙
C 、丙
八省联考哪八省
D 、丁
4.椭圆122+m x +22m y =1(m >0)的焦点为F 1,F 2,上顶点为A ,若∠F 1AF 2=3
π,则m =(  )
A 、1
B 、2
C 、3
D 、2
5.已知单位向量a ,b 满足a •b =0,若向量c =7a +2b ,则sin <a ,c >=(  )
A 、37
B 、32
C 、97
D 、9
2 6.(1+x)2+(1+x)3+…+(1+x)9的展开式中x 2的系数是(  )
A 、60
B 、80
C 、84
D 、120 7.已知抛物线y 2=2px 上三点A (2,2),B ,C ,直线AB ,AC 是圆(x −2)2+y 2=1的两
条切线,则直线BC 的方程为(  )
A 、x +2y +1=0
B 、3x +6y +4=0
C 、2x +6y +3=0
D 、x +3y +2=0
8.已知a <5且ae 5=5e a ,b <4且be 4=4e b ,c <3且ce 3=3e c
,则(  )
A 、c <b <a
B 、b <c <a
C 、a <c <b
D 、a <b <c
二、多选题:本题共4小题,每小题5分,共20分。在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求。全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分。
9.已知函数f (x )=xln (1+x ),则(  )
A 、f (x )在(0,+∞)单调递增
B 、f (x )有两个零点
C 、曲线y =f (x )在点(−21,f (−21))处切线的斜率为−1−ln2
D 、f (x )是偶函数
10.设z 1,z 2,z 3为复数,z 1≠0.下列命题中正确的是(  )
A 、若|z 2|=|z 3|,则z 2=±z 3
B 、若z 1z 2=z 1z 3,则z 2=z 3
C 、若2z =z 3,则|z 1z 2|=|z 1z 3|
D 、若z 1z 2=|z 1|2,则z 1=z 2
11.如图是一个正方体的平面展开图,则在该正方体中(  )
A 、AE ∥CD
B 、CH ∥BE
C 、DG ⊥BH
D 、BG ⊥DE
12.设函数f (x )=x
x x cos sin 22cos +,则(  ) A 、f (x )=f (x +π)                B 、f (x )的最大值为
21 C 、f (x )在(−4π
,0)单调递增      D 、f (x )在(0,4
π)单调递减 三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分。
13.圆台上、下底面的圆周都在一个直径为10的球面上,其上、下底面半径分别为4和5,则该圆台的体积为___________.
14.若正方形一条对角线所在直线的斜率为2,则该正方形的两条邻边所在直线的斜率分别为__________,_____________.
15.写出一个最小正周期为2的奇函数f (x )=__________.
16.对一个物理量做n 次测量,并以测量结果的平均值作为该物理量的最后结果.已知最后结果的误差εn ~N (0,n
2),为使误差εn 在(−0.5,0.5)的概率不小于0.9545,至少要测量_________次.(若X ~N (μ,σ2),则P (|X −μ|<2σ)=0.9545).
四、解答题:本题共6小题,共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.已知各项都为正数的数列{a n }满足a 2+n =2a 1+n +3a n .
(1)证明:数列{a n +a 1+n }为等比数列;
(2)若a 1=
21,a 2=2
3,求{a n }的通项公式.
18.在四边形ABCD 中,AB ∥CD ,AD =BD =CD =1.
(1)若AB =23,求BC ; (2)若AB =2BC ,求cos ∠BDC .
19.一台设备由三个部件构成,假设在一天的运转中,部件1,2,3需要调整的概率分别为0.1,0.2,0.3,各部件的状态相互独立.
(1)求设备在一天的运转中,部件1,2中至少有1个需要调整的概率;
(2)记设备在一天的运转中需要调整的部件个数为X ,求X 的分布列及数学期望.
20.北京大兴国际机场的显著特点之一是各种弯曲空间的运用.刻画空间的弯曲性是几何研究的重要内容.用曲率刻画空间弯曲性,规定:多面体顶点的曲
率等于2π与多面体在该点的面角之和的差(多面体的面的内角叫
做多面体的面角,角度用弧度制),多面体面上非顶点的曲率均为
零,多面体的总曲率等于该多面体各顶点的曲率之和.例如:正
四面体在每个顶点有3个面角,每个面角是
3π,所以正四面体在各顶点的曲率为2π−3×3
π=π,故其总曲率为4π. (1)求四棱锥的总曲率;
(2)若多面体满足:顶点数−棱数+面数=2,证明:这类多面体的总曲率是常数.
21.双曲线C :22a x −22
b
y =1(a >0,b >0)的左顶点为A ,右焦点为F ,动点B 在C 上.当BF ⊥AF 时,|AF|=|BF|.
(1)求C 的离心率;
(2)若B 在第一象限,证明:∠BFA =2∠BAF .
22.已知函数f (x )=e x −sinx −cosx ,g (x )=e x +sinx +cosx .
(1)证明:当x >−4
5 时,f (x )≥0; (2)若g (x )≥2+ax ,求a .

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